群论：群表示论

为什么要研究群表示论？

#

在第一节中，我们介绍了群的基本定义以及群理论中的一些基本概念，我们使用的数学语言是“抽象”的，这不利于群论的进一步应用。群表示论（更正式地，线性表示理论）就是为了解决这一问题，它可以帮助我们将抽象的群结构具体化到线性变换或矩阵上，使得我们能用线性代数、矩阵论等成熟的工具去分析群的性质。

群的线性表示

#

定义: 设 $G$ 是一个群，$V$ 是域 $K$ 上的一个向量空间，$V$ 上所有可逆线性变换组成的乘法群记作 $\mathrm{GL}(V)$。$G$ 到 $\mathrm{GL}(V)$ 的一个群同态 $\varphi$ 称为 $G$ 在域 $K$ 上的一个线性表示（简称为 $K$-表示或者表示）。$V$ 称为表示空间。若 $V$ 是有限维的，则 $V$ 的维数 $\dim_K V$ 称为表示的次数（或维数），记作 $\deg \varphi$ ；若 $V$ 是无限维的，则称 $\varphi$ 是 $G$ 的无限维表示。