为什么要研究群表示论？#
在第一节中，我们介绍了群的基本定义以及群理论中的一些基本概念，我们使用的数学语言是“抽象”的，这不利于群论的进一步应用。群表示论（更正式地，线性表示理论）就是为了解决这一问题，它可以帮助我们将抽象的群结构具体化到线性变换或矩阵上，使得我们能用线性代数、矩阵论等成熟的工具去分析群的性质。
群的线性表示#
定义: 设 \(G\) 是一个群，\(V\) 是域 \(K\) 上的一个向量空间，\(V\) 上所有可逆线性变换组成的乘法群记作 \(\mathrm{GL}(V)\)。\(G\) 到 \(\mathrm{GL}(V)\) 的一个群同态 \(\varphi\) 称为 \(G\) 在域 \(K\) 上的一个线性表示（简称为 \(K\)-表示或者表示）。\(V\) 称为表示空间。若 \(V\) 是有限维的，则 \(V\) 的维数 \(\dim_K V\) 称为表示的次数（或维数），记作 \(\deg \varphi\) ；若 \(V\) 是无限维的，则称 \(\varphi \) 是 \(G\) 的无限维表示。